f(x)=2( 4 3 ​ ) x+1 −3 مثّل كل دالة مما يأتي بيانيًا، وحدّد مجالها ومداها:

Question

مثّل كل دالة مما يأتي بيانيًا، وحدّد مجالها ومداها:

السؤال الثاني:
f(x)=2(34)x+1−3f(x) = 2 \left( \frac{3}{4} \right)^{x+1} - 3f(x)=2(43​)x+1−3

Answer 1

الحل:

1. إيجاد المجال:

   • الدالة تحتوي على أس مرفوع إلى قوة، ومجالها هو جميع الأعداد الحقيقية: $$\text{المجال}=(-\infty ,+\infty )$$

2. إيجاد المدى:

   • الدالة تأخذ الشكل f(x)=2(34)x+1−3f(x) = 2 \left( \frac{3}{4} \right)^{x+1} - 3f(x)=2(43​)x+1−3.
   • القاعدة 34\frac{3}{4}43​ هي كسر موجب أقل من 1، مما يعني أن الدالة تناقصية.
   • أصغر قيمة لـ (34)x+1\left( \frac{3}{4} \right)^{x+1}(43​)x+1 هي 0 عندما $x\to +\infty$، وأكبر قيمة لها عندما $x\to -\infty$ تقترب من 1.
   • عند $x\to -\infty$: $$f(x)=2(1)-3=-1$$
   • عند $x\to +\infty$: $$f(x)=2(0)-3=-3$$
   • إذن، مدى الدالة هو: $$(-3,-1]$$

3. رسم التمثيل البياني:

   • الدالة تتناقص وتقترب من الخط الأفقي $y=-3$ عند $x\to +\infty$.
   • تتقاطع مع محور $y$ عند $x=0$: f(0)=2(34)1−3=2×34−3=1.5−3=−1.5f(0) = 2 \left( \frac{3}{4} \right)^{1} - 3 = 2 \times \frac{3}{4} - 3 = 1.5 - 3 = -1.5f(0)=2(43​)1−3=2×43​−3=1.5−3=−1.5

---